تعريف البرمجة الخطية وتطبيقاتها

تعريف البرمجة الخطية وتطبيقاتها، البرمجة الخطية في الرياضيات، تعد البرمجة الخطية طريقة لتحسين العمليات مع بعض القيود. الهدف الرئيسي للبرمجة الخطية هو تعظيم أو تقليل القيم العددية، يتكون من وظائف خطية تخضع لقيود في شكل معادلات خطية أو في شكل متباينات، البرمجة الخطية هي تقنية مهمة تستخدم للعثور على الاستخدام الأمثل للموارد، يتكون مصطلح “البرمجة الخطية” من كلمتين، “خطي” و “برمجة”، تحدد كلمة “خطي” العلاقة بين المتغيرات المتعددة في المقام الأول.

البرمجة الخطية في الرياضيات

تحدد كلمة “برمجة” عملية اختيار الحل الأفضل من بين البدائل المختلفة. تستخدم البرمجة الخطية على نطاق واسع في الرياضيات وبعض المجالات الأخرى مثل الاقتصاد والأعمال. مجالات الاتصالات والتصنيع.

يمكن تعريف البرمجة الخطية (LP) أو التحسين الخطي على أنه مشكلة تعظيم أو تصغير دالة خطية تخضع لقيود خطية وقد تكون القيود مساواة أو عدم مساواة حيث تتضمن مشاكل التحسين حساب الربح والخسارة ومشاكل البرمجة الخطية مهمة فئة من مشاكل التحسين

مما يساعد في إيجاد المنطقة المجدية وتحسين الحل من أجل الحصول على أعلى أو أدنى قيمة للوظيفة والبرمجة الخطية هي طريقة النظر إلى التفاوتات المختلفة ذات الصلة بموقف ما وحساب أفضل قيمة مطلوبة للحصول عليها في تلك شروط.

بعض الافتراضات التي يتم إجراؤها أثناء العمل مع البرمجة الخطية هي:

يجب التعبير عن عدد القيود من الناحية الكمية.
يجب أن تكون العلاقة بين القيود والوظيفة الموضوعية خطية.
يجب تحسين الوظيفة الخطية (أي الوظيفة الموضوعية).

مكونات البرمجة الخطية

المكونات الأساسية لـ LP هي كما يلي:

متغيرات القرار.
قيود.
البيانات.
وظائف موضوعية.

طرق البرمجة الخطية

حل البرمجة الخطية البسيط.
حل البرمجة الخطية باستخدام R.
حل رسومي للبرمجة الخطية
حل البرمجة الخطية باستخدام برمجيات الحل المفتوح.

شروط البرمجة الخطية

القيود: يجب التعبير عن القيود في شكل رياضي فيما يتعلق بالمورد.
الوظيفة الموضوعية: في مشكلة ما ، يجب تحديد الوظيفة الموضوعية بطريقة كمية.
خطي: يجب أن تكون العلاقة بين متغيرين أو أكثر في دالة خطية ، مما يعني أن درجة المتغير هي نفسها.
منتهية: يجب أن تكون هناك أرقام مدخلات ومخرجات محدودة ولانهائية وفي حالة احتواء الوظيفة على عوامل لا نهائية ، فإن الحل الأمثل غير ممكن.
غير سالبة: يجب أن تكون القيمة المتغيرة موجبة أو صفراً حيث لا يجب أن تكون قيمة سالبة.
متغيرات القرار: سيقرر متغير القرار الناتج لأنه يعطي الحل النهائي للمشكلة ولأي مشكلة ، فإن الخطوة الأولى هي تحديد متغيرات القرار.

مجالات تطبيق البرمجة الخطية

قد يكون المثال الآني هو النظر في قيود العمالة والمادية وإيجاد أفضل مستويات الإنتاج لتعظيم الربح في ظل ظروف معينة. إنها جزء من منطقة حيوية في الرياضيات تُعرف باسم تقنيات التحسين. تطبيقات LP في بعض المجالات الأخرى هي:

الهندسة: تحل مشاكل التصميم والتصنيع لأنها مفيدة في تحسين الشكل.
التصنيع الفعال: لتعظيم أرباح الشركات ، استخدم التعبيرات الخطية.
صناعة الطاقة: توفر طرقًا لتحسين نظام الطاقة الكهربائية.
تحسين النقل: من أجل كفاءة التكلفة والوقت.

أهمية البرمجة الخطية

يتم تطبيق البرمجة الخطية على نطاق واسع في مجال التحسين لأسباب عديدة. يمكن تمثيل العديد من المشكلات الوظيفية في تحليل العملية كمشكلات برمجة خطية. تعتبر بعض مشكلات البرمجة الخطية مثل استعلامات تدفق الشبكة واستعلامات تدفق السلع المتعددة مهمة لإنتاج الكثير من الأبحاث حول الخوارزميات الوظيفية لحلها. .

مزايا البرمجة الخطية

تقدم البرمجة الخطية نظرة ثاقبة لمشاكل العمل. يساعد في حل المشكلات متعددة الأبعاد. وفقًا لتغير الحالة ، يساعد LP في إجراء التعديلات.
من خلال حساب التكلفة والربح لأشياء مختلفة ، يساعد LP في صنع أفضل الحلول وأفضلها.

مشاكل البرمجة الخطية

مشاكل البرمجة الخطية (LPP) هي مشكلة إيجاد القيمة المثلى لوظيفة خطية معينة حيث يمكن أن تكون القيمة المثلى إما القيمة القصوى أو الدنيا وتكون الوظيفة الخطية المعينة دالة موضوعية حيث يمكن أن تحتوي الوظيفة الهدف على العديد من المتغيرات التي تخضع للشروط ويجب أن تفي بها. تسمى مجموعة عدم المساواة الخطية القيود الخطية.

في البرمجة الخطية ، يمثل المصطلح “خطي” العلاقة الرياضية المستخدمة في مشكلة معينة (بشكل عام ، علاقة خطية) ويمثل مصطلح “البرمجة” طريقة تحديد خطة عمل معينة حيث يمكن استخدام مشاكل البرمجة الخطية للحصول على أفضل حل للسيناريوهات التالية مثل مشاكل التصنيع ، ومشاكل النظام الغذائي ، ومشاكل النقل ، وقضايا التخصيص ، إلخ.

خطوات استخدام البرمجة الخطية

الخطوة 1: حدد مشكلة معينة (أي اكتب قيود عدم المساواة والدالة الهدف).
الخطوة 2: تحويل المتباينات المعطاة إلى معادلات عن طريق إضافة متغير الركود لكل تعبير متباين.
الخطوة 3: قم بإنشاء لوحة بسيطة أولية واكتب دالة الهدف في الصف السفلي حيث يظهر كل قيد من قيود عدم المساواة في فئته الخاصة ويمكننا تمثيل المشكلة في شكل مصفوفة معززة تسمى اللوحة الأولية البسيطة.
الخطوة 4: تحديد أكبر إدخال سلبي في الصف السفلي مما يساعد على تحديد العمود المحوري يحدد أكبر إدخال سلبي في الصف السفلي أكبر معلمة في دالة الهدف والتي ستساعدنا على زيادة قيمة دالة الهدف بأسرع ما يمكن المستطاع.
الخطوة 5: حساب حاصل القسمة لحساب حاصل القسمة ، نحتاج إلى تقسيم المدخلات في العمود الموجود في أقصى اليمين على الإدخالات الموجودة في العمود الأول باستثناء الصف السفلي وأصغر حاصل قسمة يحدد الصف. سيتم اعتبار الصف المحدد في هذه الخطوة والعنصر المحدد في الخطوة عنصرًا محوريًا.
الخطوة 6: قم بالدوران المحوري لجعل جميع الإدخالات الأخرى في العمود تساوي الصفر.
الخطوة 7: إذا لم تكن هناك إدخالات سلبية في الصف السفلي ، فقم بإنهاء العملية وإلا ابدأ من الخطوة 4.
الخطوة 8: أخيرًا حدد الحل المرتبط بلوحة الطباعة النهائية البسيطة.

الفرق بين المعادلات الخطية وغير الخطية

للعثور على الفرق بين المعادلتين ، أي الخطية وغير الخطية ، يجب على المرء أن يعرف تعريفاتهما.

المعادلات الخطية

يشكل خطًا مستقيمًا أو يمثل معادلة الخط المستقيم.
تحتوي على درجة واحدة فقط أو يمكننا أيضًا تعريفها على أنها معادلة لها درجة قصوى تبلغ 1.
تشكل كل هذه المعادلات خطًا مستقيمًا في المستوى XY حيث يمكن أن تمتد هذه الخطوط في أي اتجاه ولكن في شكل مستقيم.
التمثيل العام للمعادلة الخطية هو y = mx + c حيث x و y هما المتغيران و m ميل الخط و c ثابت.

أمثلة:

10x = 9 ص + س + 2 = 0 4 ص = 3 س 99 س + 12 = 23 ص

المعادلات غير الخطية

إنه لا يشكل خطاً مستقيماً بل منحنى.
المعادلة غير الخطية لها درجة 2 أو أكثر من 2 ولكن لا تقل عن 2.
إنه يشكل منحنى وإذا قمنا بزيادة قيمة الدرجة فإن انحناء الرسم البياني يزيد.
التمثيل العام للمعادلات غير الخطية هو ax2 + by2 = c حيث x و y هما المتغيرات و a و b و c هي القيم الثابتة.

أمثلة:

س 2 + ص 2 = 1 س 2 + 12 س ص + ص 2 = 0 س 2 + س + 2 = 25.

نختم مقالنا بالتنويه عن ملاحظة وهي عادة ما تحتوي المعادلة الخطية على متغير واحد فقط وإذا كان لأي معادلة متغيرين، يتم تعريف المعادلة على أنها معادلة خطية في متغيرين، على سبيل المثال 5x + 2 = 1 هي معادلة خطية في متغير واحد ولكن 5x + 2y = 1 هي معادلة خطية في متغيرين.